Elsőfokú egyenlet

1. Az egyenlet fogalma

Két egyenlőség jellel összekapcsolt algebrai kifejezés, amelyek közül legalább az egyikben változó is szerepel egyenletet alkot.

A fenti elsőfokú egyenlet változója vagy ismeretlene az x. Olyan is előfordul amikor több betű vagy változó is szerepel egy egyenleten belül.

A két ismeretlenes egyenlet akkor oldható csak meg ha rendelkezésre áll egy másik egyenlet is ami pont ugyanezeket a változókat tartalmazza. Ilyenkor már egyenlet rendszerről beszélünk.

2. Az elsőfokú egyenlet megoldása

Az egyenlet megoldása minden olyan valós szám melyet az ismeretlenbe (változóba) helyettesítve a bal és jobb oldal egyenlő. Az elsőfokú (lineáris) egyváltozós egyenleteket a mérleg elv alapján szokás megoldani.

Cél az x változó vagy ismeretlen értékének megkeresése.

Az elv lényege, hogy az egyenlet mindkét oldalát úgy változtatjuk meg, hogy az egyenlőség igaz maradjon, mint ahogy a kétkarú mérleg serpenyőjében a súlyokat is úgy választjuk ki, hogy a mérleg egyensúlyban (vízszintesen) maradjon.

mindkét oldalból kivonok 4-et.

mindkét oldalhoz hozzáadok 12 -őt.

Az x -es tagokat rendezzük baloldalra, nem x -es tagokat jobb oldalra. Azaz mindkét oldalból kivonok 2x -et.

Mindkét oldalt 4 -el osztom.

A megoldás folyamatot itt befejeztük. Az egyenlet megoldáskor mindig az ellentett műveletet kell elvégezni betartva a mérleg elvet és a műveleti sorrendet.

Ellentett műveltek:

összeadás – kivonás

kivonás – összeadás

szorzás – osztás

osztás – szorzás

hatványozás – gyökvonás

gyökvonás – hatványozás

Műveleti sorrend:

Zárójelen belül elvégezhető műveletek

Zárójel felbontás (kívülről befelé több zárójel esetén)

Hatványozás, gyökvonás

Szorzás, osztás (balról jobbra)

Összeadás, kivonás (balról jobbra)

3. Megoldott egyenlet

A fenti egyenletet megoldott egyenletnek tekintjük.

4. Megoldással nem rendelkező egyenlet

A fenti egyenletnek nincs megoldása. Azt is szokás mondani, hogy a megoldás halmaz üres.

5. Végtelen sok megoldással rendelkező egyenlet

Látható, hogy a fenti egyenletben az x helyébe akármilyen szám beírható. Bármely szám esetén teljesül az egyenlőség jel. A megoldás halmaz az egész valós számok halmaza.